Gambar Sampul Matematika · Bab II Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Matematika · Bab II Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Subchan Winarni Lukman Hanafi

24/08/2021 14:51:09

SMP 9 K-13 revisi 2018

Lihat Katalog Lainnya
Daftar Isi
 Bab I Perpangkatan dan Bentuk AkarBab II Persamaan dan Fungsi KuadratBab III TransformasiBab IV Kekongruenan dan KesebangunanBab V Bangun Ruang Sisi Lengkung
Halaman
MATEMATIKA63Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang berbentuk f(x) = ax2 + bx + c. Grafik fungsi ini berbentuk parabola yang mempunyai nilai optimum. Dalam aplikasi dunia nyata ini sangat berguna.Persamaan dan Fungsi Kuadrat3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan karakteristiknya berdasarkan akar-akarnya serta cara penyelesaiannya.3.3 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, dan grafik.3.4 Menjelaskan hubungan antara koefisien dan diskriminan fungsi kuadrat dengan grafiknya.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.4.3 Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan tabel, persamaan, dan grafik.4.4Menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan sifat-sifat fungsi kuadrat.KD ompetensiasar•Fungsi Kuadrat•Akar Kuadrat•Persamaan KuadratK ata Kunci1.Menyelesaikan persamaan kuadrat dan mengetahui karakteristik penyelesaiannya.2.Menentukan grafik dari fungsi kuadrat.3.Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum.4.Menentukan fungsi kuadrat.5.Menjelaskan aplikasi dari fungsi kuadrat.PB engalamanelajarBab IISumber: Dokumen Kemdikbud
64PK etaonsepMenentukan Akar-akar Persamaan KuadratAplikasiGrafik Fungsiy = ax2Grafik Fungsiy = ax2 + bxGrafik Fungsiy = ax2 + cPergeseran GrafikSumbu SimetriNilai OptimumMelalui GrafikMelalui Beberapa Titik yang DiketahuiPERSAMAAN DAN FUNGSI KOORDINATPersamaanKuadratGrafik FungsiKuadratMentukanFungsi KuadratAplikasi FungsiKuadratSumbu Simetridan NilaiOptimumMetode PemfaktoranMetode Kuadrat SempurnaRumus Kuadratik
65Omar Khayyam lahir 18 Mei 1048 di Nishapur di timur laut Iran. Pada usia muda ia pindah ke Samarkand dan memperoleh pendidikan di sana. Setelah itu ia pindah ke Bukhara dan berhasil menjadi matematikawan besar dan astronom dari periode abad pertengahan. Dia adalah penulis dari salah satu risalah yang paling penting pada aljabar dan ditulis sebelum zaman modern, Treatise on Demonstrasi Masalah Aljabar, yang mencakup metode geometris untuk memecahkan persamaan kubik dengan memotong sebuah hiperbola dengan lingkaran. Omar Khayyam meneruskan tradisi aljabar al-Khawarizmi dengan memberikan persamaan sampai pangkat tiga. Seperti pendahulunya, Omar Khayyam melengkapi dengan persamaan kuadrat baik untuk solusi aritmatika maupun solusi geometri. Untuk persamaan-persamaan umum pangkat tiga dipercayainya bahwa solusi untuk aritmatika adalah tidak mungkin (kelak pada abad lima belas dibuktikan bahwa pernyataan ini salah), sehingga dia hanya memberi solusi geometri. Gambar kerucut yang dipotong untuk menyelesaikan persamaan pangkat dua sudah pernah dipakai oleh Menaechmus, Archimedes, dan Alhazen. Namun, Omar Khayyam mengambil cara lebih elegan dengan melakukan generalisasi metode guna mencakup persamaan-persamaan pangkat tiga dengan hasil berupa akar bilangan positif. Untuk persamaan dengan pangkat lebih dari tiga, Omar Khayyam tidak dapat memberi gambaran dengan menggunakan metode geometri yang sama. Dianggap bahwa tidak ada dimensi lebih dari tiga, “Apa yang disebut dengan kuadrat dikuadratkan oleh para ahli aljabar, memberi daya tarik dari sisi teoritis.”Untuk lebih memudahkan uraian diberikan contoh persamaan: x³ + ax² + b²x + c³ = 0,kemudian, dengan teknik substitusi, mengganti, x² = 2py akan diperoleh 2pxy + 2apy + b²x + c³ = 0. Hasilnya dari persamaan ini adalah hiperbola dan variabel untuk melakukan substitusi, x² = 2py, adalah parabola. Tampak jelas di sini bahwa hiperbola digambar bersama-sama dengan parabola pada (sistem) ordinat yang sama, sedangkan absis merupakan titik-titik perpotongan parabola dan hiperbola, adalah hasil akar persamaan kuadrat. Dia belum menjelaskan tentang koefisien negatif. Niatnya memecahkan problem berdasarkan parameter a, b, c adalah bilangan positif, negatif atau nol. Tidak semua akar dari persamaan kuadrat diketahui, karena dia tidak mengetahui akar bilangan negatif.Sumber: http://sejarahmatematika1.blogspot.co.id, Wikipedia. Hikmah yang bisa diambil1.Kita harus terus berusaha untuk mencapai keberhasilan.2.Kita harus mau dan mampu melakukan pembuktian-pembuktian tentang fenomena alam sekitar yang merupakan bukti kekuasaan Tuhan melalui keilmuan yang diketahui manusia. Sumber: http://blog.yovisto.comOmar Khayyam
Kelas IX SMP/MTs66Persamaan Kuadrat2.1 Pertanyaan PentingBagaimana menentukan akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, melengkapi kuadrat sempurna, dan rumus kuadratik? Bagaimana karakteristik dari penyelesaian persamaan kuadrat berdasarkan koefisien-koefisiennya?Ayo Kita Gali InformasiDalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menjumpai beberapa masalah yang terkait dengan persamaan kuadrat. Perhatikan masalah berikut.“Johan dan Mario bekerja bersama-sama mengecat dinding dalam waktu 18 menit. Jika Johan bekerja sendirian, ia memerlukan waktu 15 menit lebih lama daripada waktu yang diperlukan Mario. Berapa waktu yang diperlukan Johan dan Mario masing-masing untuk mengecat dinding?”Alternatif Penyelesaian:Misal waktu yang diperlukan oleh Mario untuk mengecat dinding adalah t menit maka waktu yang diperlukan Johan adalah t + 15 menit. Sedangkan jika mereka melakukan bersama-sama maka waktu yang diperlukan adalah 18 menit. Sehingga didapatkanLaju Mario mengecat adalah 1t.Laju Johan mengecat adalah 1+ 15t.Laju mengecat bersama-sama adalah .Dan pada akhirnya didapatkan:Persamaan untuk menyelesaikan masalah ini adalah 11 1+=+ 1518tt.Disederhanakan menjadi 111+(18 )( + 15) =+ 1518tttt .18t(t + 15).()()1118 ( + 15) + 18+ 15=+ 15+ 15tttttttt
MATEMATIKA67 18(t + 15) + 18t = t(t + 15) 18t + 270 + 18t = t2 + 15t 36t + 270 = t2 + 15tt2 – 21t – 270 = 0Persamaan t2 – 21t – 270 = 0 merupakan salah satu contoh persamaan kuadrat dan untuk menyelesaiakannya akan dibahas pada bagian ini. Secara umum persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua dan biasanya dituliskan sebagai ax2+bx+c=0 dengan a≠ 0 dan a, b, c∈R. Bilangan a, b, cpada persamaan kuadrat tersebut disebut sebagai koefisien.Akar-akar atau penyelesaian dari ax2+ bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu:(1)Memfaktorkan(2)Melengkapi Kuadrat Sempurna(3)Rumus Kuadratik (Rumus abc)Untuk lebih jelasnya tentang akar persamaan kuadrat, ikutilah kegiatan belajar berikut..Kegiatan 1Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan MemfaktorkanSalah satu cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 adalah dengan cara memfaktorkan. Sekarang coba kalian perhatikan kembali perkalian bentuk aljabar berikut.Ayo Kita Gali Informasix(x + 2)= x2 + 2xataux2 + 2x = x(x + 2)(x + 1)(x + 4) = (x + 1) (x + 4) = x2 + 4x + x + 4 = x2 + 5x + 4atau (x + 1)(x + 4)= x2 + 5x + 4 (3x – 4)(x + 3) = (3x – 4) (x + 3) = 3x2 + 9x – 4x – 12 = 3x2 + 5x – 12atau (3x – 4)(x + 3) = 3x2 + 5x – 12Bagaimana, jika sebaliknya (dari kanan ke kiri)?
Kelas IX SMP/MTs68x2 + 2x = x(x + 2)x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)3x2 + 5x – 12 = (3x – 4)(x + 3)Bentuk seperti ini disebut dengan “Memfaktorkan”Dengan memfaktorkan persamaan kuadrat, dapat ditentukan akar-akarnya yaitux2 + 5x + 4 = 0(x + 1)(x + 4) = 0x + 1 = 0 atau x + 4 = 0x = –1 atau x = –4Jadi akar-akarnya adalah –1 dan –4.Ayo Kita AmatiTahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat x2 + bx + cmenjadi (x + p)(x + q) atau bisa dituliskanx2 + bx + c = (x + p)(x + q) x2 + bx + c = x2 + (... + ...)x + (... × ...) Jadi, untuk memfaktorkan harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... + ... dan c = ... × ....Berdasarkan pengamatanmu, maka lakukan pemfaktoran berikut dan tentukan akar-akarnya.Ayo Kita Mencoba•Persamaan kuadrat : x2 + 5x + 6 = 0Didapat b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = 5 dan pq = 6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = 6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah
MATEMATIKA69pqpqp + q166723653...6...6...6...–1...6...–2...6...–3...6...–6...6...Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = 5, maka berdasarkan tabel pada baris kedua didapat p = ... dan q = ... atau berdasarkan pada baris ketiga dituliskan p = ... dan q = ... (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannyax2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)Dengan demikian akar-akarnya adalah x = ... dan x = ....•Persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0Didapat b = 1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = 1 dan pq = –6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = –6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah:pqpqp + q1...–6...2...–6...3...–6...6...–6...–1...–6...–2...–6...–3...–6...–6...–6...
Kelas IX SMP/MTs70Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = 1, maka berdasarkan tabel di atas pada baris ketiga didapat p = ... dan q = ... atau berdasarkan pada baris keenam dituliskan p = ... dan q = ... (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannyax2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2)Dengan demikian, akar-akarnya adalah x = ... dan x = ....•Persamaan kuadrat : x2 – x – 6 = 0Didapat b = –1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = –1 dan pq = –6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = –6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalahpqpqp + q1...–6...2...–6...3...–6...6...–6...–1...–6...–2...–6...–3...–6...–6...–6...Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = –1, maka berdasarkan tabel tersebut pada baris kedua didapat p = ... dan q = ... atau berdasarkan pada baris ketujuh dituliskan p = ... dan q = ... (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannyax2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3)Dengan demikian, akar-akarnya adalah x = ... dan x = ....Ayo Kita MenalarDengan melakukan kegiatan di atas anda dapat melakukan pemfaktoran dan penyelesaikan persamaan kuadrat. Bagaimana kalau persamaan kuadratnya adalah x2 + 2x – 1 = 0? Bisakah anda menyelesaikannya dengan metode pemfaktoran? Mengapa?
MATEMATIKA71Bagaimana kalau persamaan kuadratnya adalah 2x2 – 2x – 12 = 0? Bisakah anda menyelesaikannya dengan metode pemfaktoran? Jelaskan? (Petunjuk: uraikan terlebih dahulu 2x2 – 2x – 12 menjadi 2(x2 – x – 6) ). Tuliskan langkah-langkah menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan menggunakan metode pemfaktoran.Jumlahan dan Hasil Kali Akar-akar dari Persamaan KuadratPada langkah penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (bisa ditulis x2 + bax + ca = 0) menggunakan pemfaktoran harus ditentukan p dan q sedemikianhingga memenuhix2 + bax + ca = (x + p)(x + q) x2 + bax + ca = x2 + (p + q)x + (p × q)Dengan cara ini didapatkan penyelesaiannya adalah x1 = –p dan x2 = –q sehingga x1 + x2 = –p – q = –(p + q) = –...... dan x1.x2 = (–p)(–q) = pq = ....... Dari uraian ini didapat rumus untuk menentukan jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat.Ayo Kita MenanyaTerkait dengan fokus perhatian di atas, buatlah suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, dan c tertentu (kalian tentukan sendiri). Dan tanyakan pada teman sebangkumu apakah persamaan yang kamu buat tersebut dapat diselesaikan dengan metode di atas? Jika bisa selesaikan..Kegiatan 2Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat SempurnaSelain menentukan akar persamaan dengan cara memfaktorkan, kalian dapat memperluas teknik penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Sebelum mempelajari lebih lanjut, kalian perlu mengenal terlebih dahulu tentang sifat akar.
Kelas IX SMP/MTs72Ayo Kita Amati1.Akar persamaan kuadrat x2 = 4Dengan mudah dapat dihitung bahwa persamaan kuadrat x2 = 4 mempunyai akar-akar x = 4atau x = –4dan dapat disederhanakan menjadi x = 2 atau x = –2. Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwaJika x2 = k, dengan k suatu bilangan tak negatif maka x = ... atau x = - ...2.Akar persamaan (x + 5)2 = 16Sesuai sifat akar kuadrat maka diperoleh x + 5 = ± 4. Sehingga, x = ± 4 – 5 yang menunjukkan ada dua akar, yaitux = 4 – 5 atau x = –4 – 5x = –1 atau x = –9Jika (x + a)2 = k, dengan k suatu bilangan taknegatif dan a bilangan real, maka x = –a + ... atau x = –a – ...Pada “Ayo Kita Amati” bagian 1 dan 2 di atas dinamakan sebagai bentuk kuadrat sempurna atau secara umum dituliskan sebagai (x + p)2 + q = 0.Metode yang telah kalian pelajari pada Kegiatan 1 relatif mudah untuk diterapkan. Akan tetapi tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan secara langsung menggunakan metode tersebut. Sehingga kita harus mengembangkan metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lain. Bagaimana jika ada soal-soal persamaan kuadrat seperti berikut?Tentukan akar persamaan kuadrat berikut dengan membentuk kuadrat sempurna terlebih dahulu.1.x2 – 5 = 02.x2 + 10x + 24 = 03.x2 – 8 = 04.x2 + 5x + 3 = 05.x2 – 37 = 06.2x2 + 7x + 3 = 0 Untuk menyelesaikan masalah di atas, ayo amati kegiatan berikut.
MATEMATIKA73Ayo Kita Gali InformasiTahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 + q = 0 (jika diuraikan menjadi x2 + 2px + p2 + q = 0).Untuk bentuk kuadrat sempurna, koefisien dari x2 adalah 1 maka persamaan kuadrat yang akan diselesaikan (ax2 + bx + c = 0) harus dibagi ... supaya koefisien dari x2juga 1. Sehingga didapat persamaan kuadrat baru yang ingin diselesaikan adalah20bcxxaa+ +=. Langkah berikutnya adalah mencari nilai p dan q sedemikianhingga memenuhi()22bcxxxp qaa+ += + +2222bcxxxpx pqaa+ += + + +Jadi untuk membentuk kuadrat sempurna harus dicari bilangan p dan q sedemikianhingga 2bpa= dan ca = ... + ... atau lebih sederhana didapatkan p = 2ba danq = 22cbaa−.Ayo Kita Mencoba•Persamaan kuadrat : x2 + 5x + 6 = 0Didapat b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga ba = ... dan ca = ... + ... Dalam hal ini didapat p = ... dan q = ... sehinggabisa dituliskanx2 + 5x + 6 = 0 (x + p)2 + q= 0(x + ...)2 + ...= 0 (x + ...)2= ...
Kelas IX SMP/MTs74x + ... = ± ... x= ... ± ... •Persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0Didapat b = 1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga ba = ... dan ca = ... + ... Dalam hal ini didapat p = ... dan q = ... sehinggabisa dituliskanx2 + x – 6= 0 (x + p)2 + q= 0(x + ...)2 + ...= 0 (x + ...)2= ... x + ...= ± ... x= ... ± ... •Persamaan kuadrat : x2 – x – 6 = 0Didapat b = –1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga ba = ... dan ca = ... + ... Dalam hal ini didapat p = ... dan q = ... sehinggabisa dituliskanx2 – x – 6=0 (x + p)2 + q=0(x+ ...)2 + ...=0 (x + ...)2= ... x + ... = ± ... x= ... ± ... Ayo Kita MenanyaTerkait dengan fokus perhatian di atas, buatlah suatu persamaan kuadrat ax2+ bx + c= 0 dengan a, b, dan c tertentu (kalian tentukan sendiri). Lalu, tanyakan pada teman sebangkumu apakah persamaan yang kamu buat tersebut dapat diselesaikan dengan metode di atas? Jika bisa, selesaikan.
MATEMATIKA75Misal: Jika terdapat persamaan kuadrat x2 – 5x + 7 = 1.“Manakah cara yang paling mudah untuk menentukan nilai dari persamaan kuadrat? Dengan menggunakan cara memfaktoran atau dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna?”Ayo Kita MenalarPenurunan rumus kuadratik/rumus abc Pada bagian sebelumnya persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (ekivalen denganpersamaan x2 + bxa + ca = 0) dapat diselesaikan dengan membentuk kuadratsempurna (x + p)2 + q = 0 dengan p = 2ba dan q = 22cbaa− sehingga didapat akar-akar persamaan kuadrat yaitu(x + p)2 + q= 0 (x + p)2= –... x + p= ± ... x= – ... ± ... x= –222b bca aa±−x= –2224b bca aa±−x= –2222 44bb ca aa±−x= –2 22222 42224bb c bb c bb caaaaaa− −−±==−±=−± 2 22222 42224bb c bb c bb caaaaaa− −−±==−±=−± x= 242bbaca−± −
Kelas IX SMP/MTs76Berdasarkan uraian di atas didapat rumus untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat atau biasanya disebut sebagai rumus kuadratik/rumus abc yaitux1,2 = 242bbaca−± −Dan nilai di dalam akar disebut sebagai diskriminan (D) yaituD = b2 – 4acNilai diskriminan ini mempengaruhi penyelesaian/akar-akar dari persamaan kuadrat. Untuk memahami hal ini lakukan pengamatan berikut.Ayo Kita AmatiBerdasarkan hasil pengamatan dan informasi yang kalian dapatkan,gunakan nalar kalian untuk menentukan hubungan antara diskriminan dengan jenis-jenis akar selesaian persamaan kuadrat. Ayo perhatikan dan lengkapi tabel berikut.Persamaan KuadratDiskriminanSelesaianx2 + 5x + 6 = 01{–2, –3}2x2 – 5x – 3 = 0......x2 + 2x + 1 = 00{–1}x2 – 4 = 0...{2, –2}9x2 – 6x + 1 = 00...x2 + x + 1 = 0–3{ } (tidak punya akar-akar) 2x2 + 2x + 1 = 0......Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan hasil pengamatan pada tabel di atas dengan mengetahui diskriminan maka akar-akar dari persamaan kuadrat dibagi menjadi tiga kategori yaitu akar-akarnya kembar, akar-akarnya berbeda, dan tidak mempunyai akar-akar•Untuk D > 0 maka akar-akarnya ...•Untuk D = 0 maka akar-akarnya ...•Untuk D < 0 maka akar-akarnya ...
MATEMATIKA77Kegiatan 3Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Masalah NyataKalian telah mempelajari tentang persamaan kuadrat. Coba aplikasikan persamaan kuadrat tersebut untuk menyelesaikan masalah sehari-hari.Ayo Kita AmatiLuas sebidang tanah berbentuk persegi panjang adalah 4.320 m2. Panjang tanah itu 12 m lebih panjang daripada lebarnya. Berapakah panjang dan lebar sebidang tanah tersebut?Alternatif Pemecahan MasalahMisalnya panjang tanah = p meter lebar tanah = x meter maka p = (12 + x) meterLuas tanah = ... p... = ... p... = ... (12 + x)x2 + 12x – 4.320 = 0selesaikan dengan metode yang sudah dibahas sehingga didapatx1 = ...atau x2 = ...Karena ukuran panjang pada sebidang tanah tidak pernah negatif, maka x yang memenuhi adalah x = ....Untuk x = ... maka panjang tanah adalah x + 12 = ....Jadi, panjang sebidang tanah tersebut adalah ... meter dan lebarnya adalah ... meter.Persamaan KuadratMateri Esensi 2.1 Persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua. Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah ax2+bx+c=0 dengan a≠0, a, b, c∈R. Konstanta a, b, c pada persamaan ini disebut sebagai koefisien. Beberapa contoh persamaan kuadrat yaitu: 3x2 – 7x + 5 = 0, x2 – x + 12 = 0, x2 – 9 = 0, 2x(x – 7) = 0 dan lainnya.
Kelas IX SMP/MTs78Akar persamaan kuadrat dari ax2 + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara, yaitu:(1)Memfaktorkan(2)Melengkapi Kuadrat Sempurna(3)Rumus Kuadratik (Rumus abc)Dalam hal ini rumus kuadratik (Rumus abc) adalahx1,2 = 242bbaca−± −Karakteristik dari akar-akar persamaan kuadrat dapat dilihat dari koefisen persamaannya. Berikut karakteristik-karakteristik dari persamaan kuadrat berdasarkan koefisien-koefisien persamaan kuadratnya:-Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka x1 + x2 = –ba dan x1x2 = ca.-Misal suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan nilai diskriminannya adalah D = b2 – 4ac maka untuk D < 0 persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, D = 0 persamaan kuadrat mempunyai akar-akar kembar, D > 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar berbeda.Contoh 1Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan MemfaktorkanTentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x2 – 15x + 14 = 0.Alternatif Penyelesaian:Langkah 1:Carilah dua bilangan yang merupakan faktor dari 14 dan jika dijumlah sama dengan –15.Misalkan dua bilangan tersebut adalah p dan q, maka pq = 14 dan p + q = –15Pqp + qpqPQp + qPq1141514–1–14–151427914–2–7–914Dengan demikian bilangan yang memenuhi nilai p = –1 dan q = –14
MATEMATIKA79Langkah 2:Sehingga bentuk x 2 – 15x + 14 = 0 dapat difaktorkan menjadi x2 – 15x + 14 = 0(x – 1)(x – 14) = 0x –1 = 0 atau x – 14 = 0x1 = 1 atau x2 = 14Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 14}Contoh 2Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat SempurnaTentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk 2x2 + 7x + 3.Alternatif Penyelesaian:2x2 + 7x + 3= 02x2 + 7x= –3x2 + 72x = x2 + x + 274= + 491627+4x= 27+4x= 25167+4x= ± 2516x + 74= ± 54x1= –74 + 54= –12x2= –74 – 54= –3x1 = –12 atau x2 = –3Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–12, –3}
Kelas IX SMP/MTs80Contoh 3Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadratik (Rumus ABC)Tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk 2x2 + 7x + 3.Alternatif Penyelesaian:x1,2 = 22477 4237 52224bbaca−± −−± −⋅⋅ −±==⋅Jadi x1 = –12 dan x2 = –3.Contoh 4Aplikasi Persamaan KuadratKeliling suatu taman kota yang berbentuk persegi panjang adalah 90 m. Jika luas taman 450 m2, berapa panjang dan lebarnya?Alternatif Pemecahan MasalahMisalkan panjang = ppanjang + lebar = ½ kelilinglebar = 45 – pPersamaan : panjang × lebar = luasp(45 – p) = 45045p – p2 = 450p2 – 45p + 450 = 0(p – 15) (p – 30) = 0 p – 15 = 0 atau p – 30 = 0p = 15 p = 30Untuk p = 15, maka lebar adalah 45 – 15 = 30Untuk p = 30, maka lebar adalah 45 – 30 = 15Jadi panjang dan lebar taman kota adalah 30 m dan 15 m.Sumber: https://repoebliek.files.wordpress.com
MATEMATIKA81Ayo Kita Tinjau Ulang1.Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 – 3 dan x2 – 3.2.Dengan cara melengkapi kuadrat sempurna tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x2 + 7x + 3.3.Dengan cara menggunakan rumus kuadratik tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x2 + 7x + 3.4.Keliling suatu taman kota yang berbentuk persegi panjang adalah 100 m. Jika luas taman 400 m2, berapa panjang dan lebarnya?Persamaan KuadratLatihan 2.1 1.Tentukan akar persamaan berikut.a.3x2 – 12 = 0b.x2 + 7x + 6 = 0c.–3x2 – 5x + 2 = 02.Nyatakan persamaan 3(x2 + 1) = x(x – 3) dalam bentuk umum persamaan kuadrat.3.Akar-akar persamaan 3x2 − 12x + 2 = 0 adalah α dan β. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2).4.Tentukan akar persamaan kuadrat berikut dengan 3 cara yang telah kalian pelajari.a.x2 – 1 = 0b.4x2 + 4x + 1 = 0c.–3x2 – 5x + 2 = 0d.2x2 – x – 3 = 0e.x2 – x + 14 = 05.Tentukan nilai diskriminan persamaan pada soal no. 1.6.Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 3x2 – 5x + c = 0 adalah 49, tentukan nilai c.
Kelas IX SMP/MTs827.Ubahlah persamaan 3x2 = 2x – 4 kedalam bentuk umum persamaan kuadrat.8.Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut.a.x2 – 5x + 6 = 0b.x2 + 2x – 15 = 0c.x2 + 4x – 12 = 09.Bagaimana bentuk persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5?10.Nyatakan persamaan 2(x2 + 1) = x(x + 3) dalam bentuk umum persamaan kuadrat.Grafik Fungsi Kuadrat2.2 Pertanyaan PentingFungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0, x, y∈R. Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f(x) = ax2 + bx + c. Bagaimanakah cara menggambar fungsi kuadrat pada bidang kartesius? Apa pengaruh nilai a, b dan c terhadap grafik fungsi kuadrat?Kegiatan 1Menggambar Grafik Fungsi y = ax2Gambarlah grafik fungsi kuadrat yang paling sederhana, yakni ketika b = c = 0. Untuk mendapatkan grafiknya kamu dapat membuat gambar untuk beberapa nilai xdan mensubstitusikannya pada fungsi y = ax2, misalkan untuk a =1, a = –1 dan a = 2.Kerjakan kegiatan ini dengan teman sebangkumu.Ayo Kita Gali InformasiUntuk mendapatkan grafik suatu fungsi kuadrat, kamu terlebih dahulu harus mendapatkan beberapa titik koordinat yang dilalui oleh fungsi kuadrat tersebut. Kamu dapat mencari titik koordinat tersebut dengan mensubstitusikan untuk beberapa nilai x yang berbeda.
MATEMATIKA83a.Lengkapi ketiga tabel berikut.xy = x2(x, y)xy = –x2(x, y)xy = 2x2(x, y)–3(–3)2 = 9(–3, 9)–3–(–3)2 = –9(–3, –9)–32(–3)2 =18–2–2–2–1–1–1000111222333b.Tempatkan titik-titik koordinat berada dalam tabel di atas pada bidang koordinat.(gunakan tiga warna berbeda).c.Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (sesuai warna).Keterangan: Gambarkan ketiga grafik tersebut menggunakan bidang koordinat di bawah ini dan amati tiap-tiap grafik.xy
Kelas IX SMP/MTs84Ayo Kita AmatiBerdasarkan hasil pengamatan menggambar grafik maka didapatkan informasi berikut.Grafik y = x2 berupa parabola yang terbuka ke-...Grafik y = –x2 berupa parabola yang terbuka ke-...Grafik y = 2x2 berupa parabola yang terbuka ke-...Grafik y = x2 dan y = 2x2 sama-sama parabola yang terbuka ke-... dan perbedaannya adalah grafik y = x2 lebih ... daripada grafik y = 2x2.Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan Kegiatan 1, kesimpulan apa yang kamu peroleh?Nilai a pada fungsi y = ax2 akan mempengaruhi bentuk grafiknya.1.Jika a > 0 maka ...2.Jika a < 0 maka ...3.Jika a > 0 dan nilai a makin besar maka ...4.Jika a < 0 dan nilai a makin kecil maka ...Ayo Kita MenanyaBuatlah suatu fungsi kuadrat dan tanyakan kepada teman sebangkumu, “Apakah grafik dari fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah? Jelaskan.” Kegiatan 2Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + cPada kegiatan ini kamu akan menggambar grafik fungsi kuadrat ketika b = 0 dan c ≠ 0. Kegiatan ini dibagi menjadi dua subkegiatan. Pada kegiatan ini kamu mengambar grafik fungsi y = x2 + c sebanyak dua kali, yakni untuk c = 1 dan c = –1.
MATEMATIKA85Ayo Kita Gali Informasia.Lengkapi ketiga tabel berikut.xy = x2 + 1(x, y)xy = x2 – 1 (x, y)–3(–3)2 + 1 = 10(–3, –9)–3(–3)2 – 1 = 8(–3, 8)–2–2–1–100112233b.Tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel di atas pada bidang koordinat.c.Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (sesuai warna).d.Gambarlah kembali grafik y = x2 seperti pada Kegiatan 1.Keterangan: Gambarkan ketiga grafik tersebut menggunakan bidang koordinat di bawah ini dan amati tiap-tiap grafik.xy
Kelas IX SMP/MTs86Ayo Kita AmatiBerdasarkan hasil pengamatanmu, lengkapi kalimat-kalimat berikut.a.Grafik fungsi y = x2 memotong sumbu-y di titik koordinat (... , ...).b.Grafik fungsi y = x2 + 1 memotong sumbu-y di titik koordinat (... , ...).c.Grafik fungsi y = x2 – 1 memotong sumbu-y di titik koordinat (... , ...).d.Grafik fungsi y = x2 + 1 merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ... satuan ke ...e.Grafik fungsi y = x2 – 1 merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ... satuan ke ...Ayo Kita Simpulkana.Untuk c positif, grafik fungsi y = x2 + c merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ........ satuan ke .......b.Untuk c negatif, grafik fungsi y = x2 + c merupakan geseran grafik y = x2 sebesar ........ satuan ke .......c.Grafik fungsi y = x2 + c memotong sumbu-y di titik koordinat (..... , .....)Ayo Kita MenanyaBuatlah dua fungsi kuadrat dengan nilai c berbeda tapi a dan b sama. Tanyakan kepada teman sebangkumu, “Jelaskan pergeseran yang terjadi antara dua grafik dari fungsi-fungsi tersebut.”Kegiatan 3Menggambar Grafik Fungsi y = x2 + bxPada kegiatan ini kamu akan menggambar grafik fungsi kuadrat ketika c = 0 dan b≠ 0. Kegiatan ini dibagi menjadi tiga subkegiatan, yakni ketika b = 1, b = –1 dan b = 2. Pada kegiatan ini kamu akan mengenal titik puncak dari suatu grafik fungsi kuadrat.
MATEMATIKA87Ayo Kita Gali InformasiKerjakan kegiatan ini bersama teman sebangkumu.a.Lengkapi keempat tabel berikut.xy = x2 + 2x(x, y)xy = x2 – 2x(x, y)–3(–3)2 + 2(–3) = 3(–3, 3)–3(–3)2 – 2(–3) = 15(–3, 15)–2–2–1–100112233xy = –x2 + 2x(x, y)xy = –x2 – 2x(x, y)–3–(–3)2 + 2(–3) = –15(–3, –15)–3–(–3)2 – 2(–3) = –3(–3, –3)–2–2–1–100112233b.Tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel pada bidang koordinat (gunakan empat warna berbeda untuk tabel).c.Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (sesuai warna).
Kelas IX SMP/MTs88Keterangan: Gambarkan keempat grafik tersebut menggunakan bidang koordinat di bawah ini dan amati tiap-tiap grafik. Pada tiap-tiap grafik tentukan koordinat titik yang paling bawah (titik koordinat ini selanjutnya disebut titik puncak).xyAyo Kita Amatid.Pada dua tabel pertama tentukan nilai y yang paling kecil. Perhatikan hubungan anatara nilai b dengan nilai y yang paling kecil dari tiap tabel tersebut. Apa yang saudara dapatkan?e.Pada dua tabel terakhir tentukan nilai y yang paling besar. Perhatikan hubungan antara nilai b dengan nilai y yang paling besar dari tiap tabel tersebut. Apa yang saudara dapatkan?f.Ulangi kegiatan ini dengan fungsi kuadrat y = –x2 + x, y = –x2 – x. Selanjutnya tentukan titik yang paling atas (titik koordinat ini juga disebut dengan titik puncak). Nilaiyyang paling kecil (untuka> 0) danyyang paling besar (untuka< 0) dinamakan nilai optimum(yp)dan jikaxpyang menyebabkan nilaiyoptimum maka(xp, yp)dinamakan titik puncak atau titik optimum. Pembahasan mengenai nilai optimum ini akan dijelaskan lebih lanjut pada subbab selanjutnya.
MATEMATIKA89Ayo Kita SimpulkanUntuk y = x2 + bx maka nilai optimumnya adalah ... dan y = -x2 + bx maka nilai optimumnya adalah ...Ayo Kita MenanyaBuatlah fungsi kuadrat yang berbentuk y = x2 + bx dan tanyakan pada teman sebangkumu berapa nilai optimumnya.Grafik Fungsi KuadratMateri Esensi 2.2Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0. Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabloa, sehingga dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola.y = –x2y = x2y = 2x2xy–3–2–1–112345–2–3–4–5123Gambar Perbandingan Grafik fungsi kuadrat y = x2, y = –x2 dan y = 2x2
Kelas IX SMP/MTs90Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika a positif maka grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya jika a negatif maka grafiknya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih “kurus”.1–1–112345xy = x2−3x +2y = x2+2xy = –x2−5x − 4–2–3–4–5–2–3–4–52345yGambarPerbandingan grafik fungsi kuadrat y = x2 + 2x, y = x2 – 3x + 2 dan y = –x2 – 5x – 4Garis putus-putus pada gambar di atas menerupakan sumbu simetri. Koordinat yang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yang ditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan sumbu-y.Nilai b pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan letak koordinat titik puncak dan sumbu simetri (titik puncak dan sumbu simetri dibahas lebih lanjut pada subbab selanjutnya). Jika a > 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak minimum. Jika a < 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak maksimum.Nilai c pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan titik perpotongan grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu-y, yakni pada koordinat (0, c).
MATEMATIKA91Contoh 1Grafik Fungsi KuadratBerikut ini adalah grafik lima fungsi kuadrat yang berbeda.–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–112345678910y–2–3–4–5–6–7–8–9–10123456789 10x1.Grafik yang berwarna hitam merupakan grafik fungsi kuadrat y = x2 – x + 2. Grafik y = x2 – x + 2 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 2) dan memiliki titik puncak minimum.2.Grafik yang berwarna merah merupakan grafik fungsi kuadrat y = 2x2 – 6x + 4. Grafik y = 2x2 – 6x + 4 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 4) dan memiliki titik puncak minimum.3.Grafik yang berwarna biru merupakan grafik fungsi kuadrat y = –2x2 + 8. Grafik y = –2x2 + 8 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 8) dan memiliki titik puncak maksimum.
Kelas IX SMP/MTs924.Grafik yang berwarna merah dengan garis putus-putus merupakan grafik fungsi kuadrat y = x2 – 7x + 10. Grafik y = x2 – 7x + 10 memotong sumbu-y pada koordinat (0, 10) dan memiliki titik puncak minimum.5.Grafik yang berwarna biru dengan garis putus-putus merupakan grafik fungsi kuadrat y = –x2 – 5x – 6. Grafik y = –x2 – 5x – 6 memotong sumbu-y pada koordinat (0, –6) dan memiliki titik puncak maksimum.6.Ayo Kita Tinjau Ulang1.Mengapa fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c disyaratkan a ≠ 0? Jelaskan alasanmu.2.Terdapat dua fungsi kuadrat, f(x) = ax2 + bx + c dan g(x) = –f(x) = –ax2 − bx − c. Apa yang dapat disimpulkan dari grafik f(x) dan g(x).3.Grafik Fungsi KuadratLatihan 2.21.Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut.a.y = 12x2c.y = -12x2b.y = 14x2d.y = -12x22.Dari Soal 1, apa yang dapat kamu simpulkan mengenai grafik y = ax2 dengan |a| < 1 dan a≠ 0?3.Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut.a.y = x2 + 3x + 2c.y = x2 + 5x + 6b.y = x2 – 3x + 2d.y = x2 – 5x + 64.Dari Soal 3, apa yang dapat kamu simpulkan mengenai perbandingan grafik y = ax2 + bx + c dengan y = ax2 – bx + c?5.Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut.a.y = x2 + 4x + 2c.y = x2 – 5x + 5b.y = -x2 + 2x + 3d.y = –2x2 + 4x + 5
MATEMATIKA936.Dari soal nomor 5, tentukan titik puncak tiap-tiap grafik. Tentukan pula hubungan titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + c dengan nilai 2ba−.7.Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-x? Jelaskan alasanmu.8.Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-y? Jelaskan alasanmu.9.Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x pada tiga titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu.10.Apakah mungkin grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-y pada dua titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu.Sumbu Simetri dan Nilai Optimum2.3 Pertanyaan Pentinga.Bagaimana kamu menentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat? b.Bagaimana menentukan nilai optimum fungsi kuadrat tersebut?Kegiatan 1Pergeseran Grafik Fungsi KuadratAyo Kita Amati1.Gambarlah dan amati grafik fungsi kuadrat di bawah ini pada bidang koordinat. a.f(x) = x2d.f(x) = (x + 1)2b.f(x) = (x − 1)2e.f(x) = (x + 2)2c.f(x) = (x − 2)22.Gambarlah dan amati grafik fungsi kuadrat di bawah ini pada bidang koordinat.a.f(x) = x2d.f(x) = x2 − 1b.f(x) = x2 + 1e.f(x) = x2 − 2c.f(x) = x2 + 2
Kelas IX SMP/MTs94Ayo Kita MenalarBerdasarkan kegiatan di atas, bandingkan grafik lima fungsi pada bagian (1) Grafik f(x) = (x − 1)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Grafik f(x) = (x − 2)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Grafik f(x) = (x + 1)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Grafik f(x) = (x + 2)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Bandingkan grafik dari lima fungsi pada bagian (2)Grafik f(x) = x2 + 1 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Grafik f(x) = x2 + 2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Grafik f(x) = x2 − 1 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Grafik f(x) = x2 − 2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ...Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan kegiatan di atas, maka1.Untuk s positif maka grafik f(x) = (x − s)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2sejauh ... satuan ke ...2.Untuk s positif maka grafik f(x) = (x + s)2 adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2sejauh ... satuan ke ...3.Untuk t positif maka grafik f(x) = x2 + t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2sejauh ... satuan ke ...4.Untuk t positif maka grafik f(x) = x2 − t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2sejauh ... satuan ke ...5.Untuk s dan t positif maka grafik f(x) = (x − s)2 + t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh ... satuan ke ...
MATEMATIKA956.Untuk s dan t positif maka grafik f(x) = (x − s)2 − t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh ... satuan ke ...7.Untuk s dan t positif maka grafik f(x) = (x + s)2 + t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh ... satuan ke ...8.Untuk s dan t positif maka grafik f(x) = (x + s)2 − t adalah pergeseran grafik fungsi f(x) = x2 sejauh ... satuan ke ... dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh ... satuan ke ...Kegiatan 2Menentukan Sumbu Simetri dan Nilai OptimumBuatlah sumbu simetri untuk setiap grafik yang telah dibuat pada Kegiatan 1. Dalam bagian ini digunakan istilah nilai optimum yaitu nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi f(x) sehingga dengan demikian jika f(x)) adalah fungsi kuadrat (grafik berbentuk parabola) dan x = a adalah sumbu simetri dari grafik fungsi f(x) maka nilai optimumnya adalah f(a) (untuk lebih jelasnya lihat gambar di bawah ini). Gunakan materi yang dibahas pada bagian sebelumnya yaitu tentang pergeseran grafik untuk menjawab bagian “Ayo Kita Menalar” berikut.x = bx = af(b)f(a)xxayybNilai Optimum/ Nilai MinimumNilai Optimum/ Nilai MaksimumSumbu simetriSumbu simetri
Kelas IX SMP/MTs96Ayo Kita MenalarIsilah tabel di bawah ini.Fungsif(x) = x2f(x) = (x − 1)2f(x) = (x − 2)2f(x) = (x + 1)2f(x) = (x + 2)2Sumbu simetrix = 0x = ...x = ...x = ...x = ...Nilai optimumf(0) = 0f(...) = ...f(...) = ...f(...) = ...f(...) = ...Isilah tabel di bawah ini.Fungsif(x) = x2f(x) = x2+ 1f(x) = x2+ 2f(x) = x2− 1f(x) = x2 − 2Sumbu simetrix = 0x = ...x = ...x = ...x = ...Nilai optimumf(0) = 0f(...) = ...f(...) = ...f(...) = ...f(...) = ...Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan pengamatan di atas, jawablah pertanyaan berikut ini.1.Tentukan sumbu simetri dan nilai optimum grafik fungsi f(x) = (x − s)2?2.Tentukan sumbu simetri dan nilai optimum grafik fungsi f(x) = x2 + t?3.Tentukan sumbu simetri dan nilai optimum grafik fungsi f(x) = ( x − s)2 + t?
MATEMATIKA97Ayo Kita MenalarSumbu simetri grafik fungsi f(x) = ax2 adalah ...JadiSumbu simetri grafik fungsi f(x) = a (x − s)2 adalah ... dan nilai optimumnya adalah ...Sumbu simetri grafik fungsi f(x) = a (x − s)2 + t adalah ... dan nilai optimumnya adalah ...Kemudian untukf(x) = ax2 + bx + c = a (x2 + bax) + c = a (x2 + bax + ... ) − a (...)2 + c = () ( )()224axac axca...+... − ... + = +... − += ()2224424bbaxa xaaaa... ...−...+... − + = +−didapatkan sumbu simetrinya adalahx = ...,dengan nilai optimumnya adalahf(...) = ...,sehingga titik optimumnya adalah(..., ...)Ayo Kita SimpulkanApa rumus untuk mendapatkan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c?Kegiatan 3Sketsa Grafik Fungsi KuadratSketsalah grafik f(x) = 3x2 − 10x + 9 dan f(x) = –2x2 + 12x − 20.
Kelas IX SMP/MTs98Ayo Kita Gali InformasiBerikut adalah langkah-langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat dengan menggunakan sifat-sifat yang telah dibahas pada bagian sebelumnya.1.Periksalah, apakah bentuk parabola grafik fungsi di atas terbuka ke atas atau ke bawah! (dengan melihat nilai dari koefisien x2)2.T entukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) yang memenuhi persamaanf(x1) = 0(Perhatikan apakah persamaan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak, jika tidak apa yang bisa kamu simpulkan? (ingat kembali pada materi sebelumnya yaitu tentang hubungan antara diskriminan dan penyelesaian dari persamaan kuadrat))3.T entukan perpotongan grafik terhadap sumbu-y; yaitu,koordinat titik potongnya adalah (0, y1) dengan y1 didapatkan berdasarkan persamaany1 = f(0)4.T entukan sumbu simetri dan nilai optimum grafik fungsi di atas.5.Dari informasi yang didapatkan, sketsalah grafik fungsi kuadrat di atas.Ayo Kita BerbagiDiskusikan dengan temanmu, bagaimana bentuk grafik f(x) = xdan f(x) = –x?Bandingkan grafiknya dengan grafik persamaan kuadrat. Apa yang bisa kamu dapatkan dari analisis ini?Ayo Kita MenanyaBuatlah fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c, lalu mintalah temanmu sebangkumu untuk menggambar grafik dari fungsi tersebut.
MATEMATIKA99Menentukan Sumbu Simetri dan Titik OptimumMateri Esensi 2.3Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai sumbu simetri422 (1)bxa−=−=− =Dengan nilai optimumnya adalahy0 = 4Da−Langkah-langkah mensketsa grafik fungsi kuadrat:Langkah 1.Menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas atau ke bawah).Langkah 2.Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) yang memenuhi persamaanf(x1) = 0Langkah 3.Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-y; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (0, y1) dengan y1 didapatkan berdasarkan persamaany1 = f(0)Langkah 4.Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi.Langkah 5.Mensketsa grafik fungsi kuadrat berdasarkan langkah (1), (2), (3), dan (4).Contoh 1Menentukan Sumbu Simetri dan Nilai OptimumTentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi f(x) = x2 – 4x + 12.Alternatif Penyelesaian:Diketahui: fungsi kuadrat f(x) = x2 − 4x + 12, didapatkan a = 1, b = –4 dan c = 12.Ditanya: sumbu simetri dan titik optimumPenyelesaian:Persamaan sumbu simetrinya adalah422 (1)bxa−=−=− =
Kelas IX SMP/MTs100Nilai optimum fungsi tersebut adalah2201( 4 )4 (1) ( )472444(1)2Dbacyaa−−−=−=−=−=−Sehingga titik optimumnya adalah(x, y0 ) = (2, 72−)Contoh 2Menentukan Nilai Maksimum dan MinimunTentukan apakah fungsi f(x) = –2x2 − 12x − 17 mempunyai nilai maksimum atau minimum. Tentukan nilainya.Alternatif Penyelesaian:Diketahui : fungsi kuadrat f(x) = –2x2 − 12x − 17didapatkan a = –2, b = –12 dan c = –17.Ditanya : Tentukan apakah ada nilai maksimum atau minimum. Tentukan nilai maksimum atau minimumnya.Penyelesaian :Karena nilai a = –2 < 0 maka parabola terbuka ke bawah sehingga yang ada hanya nilai maksimum. Nilai maksimumnya adalah224( 12)4 (2) ( 17)144 1361444( 2)8mDbacyaa− −− −−=−=− =−=−=−−Contoh 3Sketsa GrafikSketsalah grafik f(x) = x2 − 6x + 10Alternatif Penyelesaian:Diketahui: fungsi kuadrat f(x) = x2 − 6x + 10, didapat a = 1, b = –6 dan c = 10Ditanya: Sketsa grafikPenyelesaian : Langkah 1.Karena a = 1 > 0 maka parabola terbuka ke atasLangkah 2.Perpotongan grafik terhadap sumbu-xDihitung bahwa D = b2 − 4ac = (–6)2 − 4 (1) (10) = –4 < 0. Sehingga grafik tidak memotong sumbu-x.
MATEMATIKA101Langkah 3. Perpotongan grafik terhadap sumbu-yy0 = f(0) = 10 yaitu pada titik (0, 10).Langkah 4.Sumbu simetri dan nilai optimum dari fungsiSumbu simetrinya adalah x = –2ba = 3 dan nilai optimumnya didapat2204( 6)4 (1) (10)41444(1)4Dbacyaa−−−−=−=− =−=−=Langkah 5.Sketsa Grafik(0, 10)(3, 1)yxx = 3Ayo Kita Tinjau Ulang1.Tentukan fungsi kuadrat f(x) = x2 − 4x + c sedemikian hingga nilai optimumnya adalah 20.2.Tentukan nilai a dan b untuk fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + 1 sedemikian hinggaa.Fungsi f(x) mempunyai nilai maksimum 10 dan sumbu simetri x = 3.b.Fungsi f(x) mempunyai nilai minimum dengan nilai minimum –10 dan sumbu simetri x = 3.3.Sketsalah grafik f(x) = –3x2 − 10x + 9
Kelas IX SMP/MTs102Sumbu Simetri dan Titik OptimumLatihan 2.31.T entukan sumbu simetri grafik fungsi di bawah ini.a.y = 2x2 − 5xb.y = 3x2 + 12xc.y = –8x2 − 16x − 12.Tentukan nilai optimum fungsi berikut ini.a.y = –6x2 + 24x − 19b.y = 25x2 – 3x + 15c.y = 34−x2 + 7x − 183.Sketsalah grafik fungsi berikut ini.a.y = 2x2 + 9xb.y = 8x2 − 16x + 64.Diketahui suatu barisan 1, 7, 16, .... Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un= an2 + bn + c. Tentukan suku ke 100.5.Diketahui suatu barisan 0, –9, –12, .... Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un = an2 + bn + c. Tentukan nilai minimum dari barisan tersebut.6.Fungsi kuadrat y = f(x) melalui titik (3, –12) dan (7, 36). Jika sumbu simetrinya x = 3, tentukan nilai minimum fungsi f(x).7.Bila fungsi y = 2x2 + 6x − m mempunyai nilai minimum 3 maka tentukan m.8.Dari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan telepon genggam N (dalam juta orang) dapat dimodelkan oleh persamaan N = 17,4x2 + 36,1x + 83,3, dengan x = 0 merepresentasikan tahun 1995. Pada tahun berapa banyaknya pelanggan mencapai nilai maksimum?
MATEMATIKA1039.Jumlah dua bilangan adalah 30. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang maksimum, tentukan kedua bilangan tersebut.10.Selisih dua bilangan adalah 10. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang minimum, tentukan kedua bilangan tersebut.Menentukan Fungsi Kuadrat2.4Kamu sudah mengetahui bagaimana cara menggambar grafik suatu fungsi kuadrat. Kamu juga sudah mengetahui bagaimana mendapatkan titik puncak, titik potong dan sumbu simetri. Pada sub-bab ini kamu akan mengetahui cara untuk menentukan fungsi kuadrat dari informasi yang ada.Pertanyaan Pentinga.Bagaimana cara menentukan fungsi kuadrat jika sudah diketahui grafiknya?b.Bagaimana cara menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak, titik potong atau sumbu simetri?Kegiatan 1Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan GrafiknyaAyo Kita Gali InformasiGambar di samping merupakan grafik suatu fungsi–11x–112345y–2–3–4kuadrat. Dapatkah kamu menentukan suatu fungsi yang grafiknya seperti gambar di samping?a.Informasi apakah yang kamu peroleh dari grafik di samping? b.Apakah grafik di samping memotong sumbu-x?c.Pada koordinat mana grafik di samping memotong sumbu-y?
Kelas IX SMP/MTs104DiskusiDiskusikan dengan temanmu tiga pertanyaan di atas. Kemudian diskusikan pertanyaan berikut.a.Berdasarkan jawaban tiga pertanyaan di atas, apakah kamu dapat menentukan fungsi kuadrat sesuai di atas?b.Minimal berapa koordinat yang harus diketahui agar kamu bisa menentukan tepat satu fungsi kuadrat berdasarkan grafik?Kegiatan 2Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Titik Potong Sumbu-xKamu sudah mengetahui cara mendapatkan akar-akar fungsi kuadrat f(x) = 0. Diberikan fungsi kuadrat berikut.i.f(x) = x2 + 3x + 4ii.f(x) = x2 + 4x + 4iii.f(x) = x2 − 6x + 5Ayo Kita Gali Informasia.Tentukan akar-akar tiap-tiap persamaan kuadrat f(x) = 0. Tentukan persamaan f(x) = 0 yang tidak memiliki akar, persamaan f(x) = 0 yang memiliki satu akar, dan persamaan f(x) = 0 yang memiliki dua akar.b.Gambarkan grafik tiap-tiap fungsi kuadrat.c.Tentukan fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu-x, fungsi yang memotong sumbu-x di satu titik dan yang memotong sumbu-x di dua titik.d.Apa yang dapat kamu simpulkan mengenai hubungan akar-akar persamaan f(x) = 0 dengan titik potong sumbu-x?
MATEMATIKA105DiskusiMisalkan terdapat dua fungsi kuadrat; y = x2 + 3x + 2 dan y = 2x2 + 6x + 4 = 2(x2 + 3x + 2)Diskusikan beberapa pertanyaan berikut.a.Tentukan akar-akar untuk persamaan f(x) = 0 untuk fungsi-fungsi kuadrat di atas. Apakah hasilnya sama untuk kedua fungsi-fungsi di atas?b.Gambarkan grafik tiap-tiap fungsi kuadrat. Apakah kedua fungsi kuadrat tersebut memiliki grafik yang sama?c.Apa yang dapat kamu simpulkan? d.Jika diketahui akar-akar dari persamaan f(x) = 0, apakah kamu pasti selalu bisa menentukan fungsi kuadratnya?Ayo Kita SimpulkanJika fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dengan y = 0 memiliki akar-akar x = p dan x = q dengan p≠q maka grafik fungsi kuadrat tersebut akan memotong sumbu-xpada koordinat ... dan ... . Bentuk umumnya adalah ...Kegiatan 3Menentukan Fungsi Kuadrat dari Beberapa InformasiPada kegiatan ini kamu akan mempelajari dan menganalisis cara menentukan fungsi kuadrat dari beberapa informasi. Informasinya adalah sebagai berikut:a.Titik potong dengan sumbu-x.b.Titik potong dengan sumbu-y.c.Titik puncak dan sumbu simetri.d.Beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut.Berdasarkan Kegiatan 1 dan 2, kamu masih belum bisa menentukan fungsi kuadrat jika hanya diketahui satu informasi dari empat informasi di atas.
Kelas IX SMP/MTs1061.Jika diketahui tiga koordinat berbedaPerhatikan gambar di samping. Misalkan terdapat suatu7654321–11–123xyfungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga koordinat berbeda, yakni (0, 1), (1, 3), dan (2, 7).Apakah kamu dapat menentukan fungsi kuadrat ber-dasarkan tiga koordinat yang diketahui dan bagaimana caranya?Perhatikan langkah-langkah berikut.a.Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax2 + bx + c.b.Karena melewati koordinat (0, 1), (1, 3) dan (2, 7) diperoleh f(0) = 3, f(1) = 3 dan f(2) = 7.-f(0) = a(0)2 + b(0) + c = 1 →c = 1. Diperoleh f(x) = ax2 + bx + 1-f(1) = a(1)2 + b(1) + 1 = 3 →a + b + 1 = 3. Diperoleh persamaana + b = 2 ... (1)-f(2) = a(2)2 + b(2) + 1 = 7 → 4a + 2b + 1 = 7. Diperoleh persamaan 4a + 2b = 6 ... (2)c.Dengan mensubstitusi a = 2 – b ke persamaan (2) , diperoleh b = ...d.Dari hasil c diperoleh a = ...e.Sehingga fungsi kuadrat yang memenuhi adalah f(x) = ax2 + bx + c = ...Ayo Kita SimpulkanJika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c melalui titik koordinat (p, q) diperoleh hubungan ...
MATEMATIKA1072.Jika diketahui titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-yPerhatikan gambar di samping. Misalkan321–1–112345x–2–2–3–4yterdapat suatu grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x di (1, 0) dan (4, 0). Fungsi kuadrat tersebut juga memotong sumbu-y di (0, –4).Apakah kamu sudah bisa menentukan fungsi kuadratnya? Bagaimana caranya? Perhatikan langkah-langkah berikut.a.Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax2 + bx + c.b.Karena memotong sumbu-x di (1, 0) dan (4, 0), dapat dituliskan f(x) = ax2 + bx + c = a(x − ...)(x − ...).c.Karena memotong sumbu-y di (0, –4), diperoleh f(0) = –4.f(0) = a(0 − ...)(0 − ... )–4 = a × ...Diperoleh a = ... dan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c = ...Ayo Kita SimpulkanJika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c memotong sumbu-x pada titik koordinat (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadif(x) = ...Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c memotong sumbu-y pada titik koordinat (0, r) maka diperolehf(0) = ...Dengan mensubstitusikan nilai x = 0 pada fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c diperoleh f(0) = ...yang berakibat ...
Kelas IX SMP/MTs1083.Jika diketahui titik potong sumbu-x dan titik puncakPerhatikan gambar di samping. Terdapat suatu fungsi1–1–1123x–2–3–2–3–4234ykuadrat yang memotong sumbu-x di (–1, 0). Titik puncak fungsi kuadrat tersebut berada di koordinat (1, –4). Apakah kamu sudah bisa menentukan fungsi kuadratnya dan bagaimana caranya? Perhatikan langkah-langkah berikut.a.Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax2 + bx + c.b.Berdasarkan grafik di samping diperoleh sumbu simetri x = 1. Berdasarkan sifat simetri, titik potong di sumbu-x yang lain adalah hasil pencerminan kooordinat (–1, 0) terhadap garis x = 1, yakni koordinat dengan x = ......c.Sehingga fungsi kuadratnya dapat dinyatakan denganf(x) = ax2 + bx + c = a(x + 1)(x − ...)d.Karena titik puncak berada di (1, –4) maka diperoleh f(1) = –4.f(1) = a(1 + 1)(1 – ...)–4 = a × ...diperoleh a = ... dan fungsi kuadrat f(x) = ...Ayo Kita SimpulkanJika fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak pada titik koordinat (s, t) maka sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut adalah garisx = ...
MATEMATIKA1094.Jika diketahui titik potong sumbu-y dan titik puncakPerhatikan gambar di samping. Terdapat suatu fungsi54321–11–1–2–3xykuadrat yang memotong sumbu-y di (0, 3). Titik puncak fungsi kuadrat tersebut berada di koordinat (–2, 1). Apakah kamu sudah bisa menentukan fungsi kuadratnya dan bagaimana caranya? Perhatikan langkah-langkah berikut.a.Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax2 + bx + c.b.Berdasarkan grafik di samping diperoleh sumbu simetri x = –2. Berdasarkan sifat simetri, jika titik (0, 3) dicerminkan terhadap garis x = –2 diperoleh koordinat .......c.Sehingga grafikfungsi kuadrat tersebut melalui tiga titik koordinat yaitu (0, 3), (–2, 1), dan ...d.Dengan menggunakan cara seperti pada Sub-Kegiatan 3.1, diperoleh a = ... , b = ... dan c = ... e.Sehingga didapatkan fungsi kuadrat f(x) = ...Menentukan Fungsi KuadratMateri Esensi 2.4Untuk menentukan fungsi kuadrat diperlukan beberapa informasi, di antaranya sebagai berikut.1.Beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut.2.Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x.3.Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y.4.Titik puncak dan sumbu simetri.Langkah pertama untuk mendapatkannya adalah dengan memisalkan fungsi kuadrat tersebut dengan f(x) = ax2 + bx + c. Berikut ini adalah langkah selanjutnya berdasarkan informasi-informasi di atas.1.Jika diketahui beberapa titik koordinat yang lain.Jika fungsi kuadrat tersebut melalui koordinat (p, q), maka diperoleh f(p) = q.
Kelas IX SMP/MTs1102.Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x.Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-x di (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi f(x) = a(x − p)(x − q). 3.Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y.Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-x di (0, r) maka diperoleh f(0) = rDengan mensubstitusikan nilai 0 pada f(x) diperoleh f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c.Sehingga diperoleh c = r.4.Jika diketahui titik puncak dan sumbu simetri.Jika fungsi kuadrat kuadrat tersebut memiliki titik puncak di (s, t) maka diperoleh sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut adalah garisx = sSelanjutnya jika diketahui fungsi kuadrat tersebut melalui (e, d) maka dengan menggunakan sifat simetri diperoleh titik koordinat yang lain hasil pencerminan koordinat (e, d) terhadap garis x = s.Contoh 1Menentukan Fungsi Kuadrat ITentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik(1, 5)(0, 4)(–1, –1)yxkoordinat (–1, –1), (0, 4) dan (1, 5).Alternatif Penyelesaian:a.Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x)= ax2 + bx + c.b.Karena melalui titik koordinat (–1, –1), (0, 4)dan (1, 5) diperoleh f(–1) = –1, f(0) = 4 dan f(1) = 5.-f(0) = a(0)2 + b(0) + c = 4 →c = 4. Diperoleh f(x) = ax2 + bx + 4
MATEMATIKA111-f(–1) = a(–1)2 + b(–1) + 4 = –1 →a – b + 4 = –1. Diperoleh persamaana – b = -5 ... (1)-f(1) = a(1)2 + b(1) + 4 = 5 →a + b + 4 = 5. Diperoleh persamaan a + b = 1 ... (2)Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2) diperoleh 2a = –4 →a = –2Kemudian b = 1 – a = 1 – (–2) = 3.c.Diperoleh nilai a = –2, b = 3 dan c = 4, sehingga fungsi kuadratnya adalah f(x)= –2x2 + 3x +4Contoh 2Menentukan Fungsi Kuadrat IITentukan fungsi kuadrat yang grafiknya(3, 0)(0, 3)(–2, 0)xymemiliki titik potong sumbu-x pada titik koordinat (-2, 0) dan (3, 0) serta memotong sumbu-y pada koordinat (0, 3).Alternatif Penyelesaian:a.Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax2 + bx + c.b.Karena memotong sumbu-x pada koordinat (–2, 0) dan (3, 0), fungsi kuadratnya dapat diubah menjadi f(x) = a(x + 2)(x – 3).c.Karena memotong sumbu-y pada koordinat (0, 3) diperoleh f(0) = 3 f(0) = a(0 + 2)(0 – 3) = –6aSehingga diperoleh –6a = 3 ⇔a = –12d.Diperoleh fungsi kuadrat: f(x) = –12 (x + 2)(x – 3) = –12 (x2 – x – 6) = –12x2 + 12x+ 3
Kelas IX SMP/MTs112Contoh 3Menentukan Fungsi Kuadrat IIITentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak pada titik koordinat (–1, 3) serta memotong sumbu-y pada titik koordinat (0, 1).(0, 1)(–1, 3)xyAlternatif Penyelesaian:a.Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax2 + bx + c.b.Diperoleh sumbu simetri x = –1.c.Berdasarkan sifat simetri, jika titik (0, 3) dicerminkan terhadap garis x = –1 diperoleh titik koordinat (–2, 1).d.Fungsi kuadrat melalui tiga titik koordinat, yakni (0, 1), (–1, 3) serta (–2, 1).e.Karena melalui titik koordinat (0, 1), (–1, 3) dan (–2, 1) diperoleh f(0) = 1,f(–1) = 3 dan f(–2) = 1.-f(0) = a(0)2 + b(0) + c = 1 ⇔c = 1. Diperoleh f(x) = ax2 + bx + 1-f(-1) = a(–1)2 + b(-1) + 1 = 3 ⇔a − b + 1 = 3. Diperoleh persamaana – b = 2 ... (1)-f(-2) = a(–2)2 + b(-2) + 1 = 1 ⇔ 4a – 2b + 1 = 1. Diperoleh persamaan 2a − b = 0 ... (2)Dengan mengurangi persamaan (1) dan (2) diperoleh –a = 2 ⇔a = –2Kemudian b = 2a = 2(–2) = –4.
MATEMATIKA113f.Diperoleh nilai a = –2, b = –4 dan c = 1, sehingga fungsi kuadratnya adalah f(x) = –2x2 − 4x + 1Contoh 4Menentukan Fungsi KuadratTentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki sumbu simetri x = –12 yang memotong sumbu-x pada titik koordinat (2, 0) dan memotong sumbu-y pada koordinat (0, 2). x = –12(0, 2)yx(2, 0)Alternatif Penyelesaian:a.Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x)= ax2 + bx + c.b.Berdasarkan sifat simetri, jika titik (2, 0) dicerminkan terhadap garis x = –12diperoleh titik koordinat (–3, 0).c.Karena memotong sumbu-x pada koordinat (2, 0) dan (–3, 0), fungsi kuadratnya dapat diubah menjadi f(x) = a(x + 3)(x – 2).d.Karena memotong sumbu-y pada koordinat (0, 2) diperoleh f(0) = 2f(0) = a(0 + 3)(0 – 2) = –6aSehingga diperoleh –6a = 2 ⇔a = 13−e.Diperoleh fungsi kuadrat f(x) = 13− (x + 3)(x − 2) = 13− (x2 + x − 6) = 13−x2 13−x2 + 2Tahukah KamuKetika kamu menggambar grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat (atau menggambar dua grafik fungsi kuadrat) dimungkinkan kedua grafik tersebut saling berpotongan.
Kelas IX SMP/MTs1141–1–113456xyy = x2− 5x + 4y = x2− 4x + 2y = x − 1–2–3–223452Berdasarkan gambar di atas grafik fungsi linear y = x − 1 dan grafik fungsi kuadraty = x2 − 5x + 4 berpotongan pada dua titik koordinat, yaitu (1, 0) dan (5, 4). Sedangkan grafik fungsi kuadrat y = x2 − 5x + 4 dan y = x2 − 4x + 2 berpotongan pada satu titik koordinat, yaitu (2, –2).Kamu juga dapat menentukan titik potongnya tanpa menggambar grafik. Caranya adalah dengan “menyamakannya”.1.T itik potong grafik fungsi linear dan fungsi kuadrat.Fungsi linear : y = –x + 1, fungsi kuadrat : y = x2 − 5x + 4Dengan menyamakan kedua fungsi di atas diperolehx2 – 5x + 4 = x − 1 x2 – 5x + 4 − x + 1 = 0x2 – 6x + 5 = 0(x – 1)(x − 5) = 0Sehingga x = 1 atau x = 5.Dari nilai x di atas kamu dapat memperoleh nilai y dengan mensubstitusikan nilai x pada salah satu fungsi.Untuk x = 1 ⇔y = x − 1 = 1 − 1 = 0, diperoleh titik koordinat (1, 0).Untuk x = 5 ⇔ y = x − 1 = 5 − 1 = 4, diperoleh titik koordinat (5, 4).Jadi titik potongnya pada titik koordinat (1, 0) dan (5, 4).
MATEMATIKA1152.Titik potong dua fungsi kuadrat.Fungsi kuadrat f1(x) = x2 − 5x + 4 dan f2 (x) = x2 − 4x + 2Karena yang dicari titik potong maka f1(x) = f2 (x), selanjutnya didapatkanx2 – 5x + 4 = x2 − 4x + 2x2 – 5x + 4 − (x2 – 4x + 2) = 0 –x + 2 = 0Diperoleh x = 2.Dari nilai x di atas kamu dapat memperoleh nilai y dengan mensubstitusikan nilai x pada salah satu fungsi.Untuk x = 2 ⇔y = x2 – 5x + 4 = (2)2 − 5(2) + 4 = –2, diperoleh titik koordinat (2, –2).Jadi titik potongnya pada titik koordinat (2, –2).Ayo Kita Tinjau Ulang1.Untuk suatu bilangan bulat p > q > 0, apakah terdapat suatu fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c yang melalui titik koordinat (1, p) dan (1, q)? Jelaskan alasanmu.2.Untuk suatu bilangan bulat p > q > r > 0, apakah terdapat suatu fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c yang melalui titik koordinat (2, p), (2, p) dan (2, r)? Jelaskan alasanmu.3.Apakah mungkin grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat berpotongan di tiga titik koordinat berbeda?Jelaskan alasanmu.4.Apakah mungkin dua grafik fungsi kuadrat berpotongan di tiga titik koordinat berbeda?Jelaskan alasanmu.Menentukan Fungsi KuadratLatihan 2.41.T entukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (–1, 1), (0, –4), dan (1, –5).2.T entukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-x pada titik koordinat (4, 0) dan (–3, 0) serta melalui titik koordinat (2, –10).
Kelas IX SMP/MTs1163.T entukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-x pada koordinat (–2, 0) dan memiliki titik puncak pada koordinat (2, –16).4.T entukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-y pada koordinat (0, 4), melalui titik koordinat (–1, –1) dan memiliki sumbu simetri x = 2.5.Tantangan. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui (12, 0), (0, 3), dan (0, –2).6.Untuk suatu bilangan bulat p, tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (p, 0) dan (–p, 0), dan (0, p). 7.T entukan semua titik potong grafik fungsi linear y = x – 1 dengan fungsi kuadrat y = x2 – 5x + 4.8.T entukan semua titik potong grafik fungsi kuadrat y = x2 – 6x + 4 dengan fungsi kuadrat y = x2 – 8x.9.Tantangan. Tentukan nilai a dan b agar grafik fungsi linear y = ax + b memotong grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x + 2 tepat pada satu titik koordinat yakni (3, –1).(Kalau diperlukan dapat menggunakan grafik).10.Dari fungsi kuadrat y = 2x2 – 12x + 16 akan dibuat suatu segitiga. Titik-titik sudut segitiga tersebut merupakan titik potong sumbu-x dan titik puncak. Tentukan luas segitiga tersebut.Aplikasi Fungsi Kuadrat2.5Pada sub-bab ini kamu akan mempelajari beberapa aplikasi fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.Pertanyaan PentingBagaimana aplikasi fungsi kuadrat pada kehidupan nyata?
MATEMATIKA117Kegiatan 1Lompat TrampolinLompat trampolin adalah sebuah permainan yang membuat seseorang terlemparkan ke udara dengan menggunakan trampolin seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini. Pada suatu hari diadakan suatu kompetisi lompat trampolin dengan peserta lompatan tertinggi akan keluar menjadi pemenang. Untuk menentukan tinggi lompatan, panitia menyiapkan suatu alat ukur berupa penggaris dengan ukuran 5 meter yang dipasang secara vertikal di sebelah trampolin sehingga tinggi dari lompatan peserta bisa dilihat dari penggaris ini. Namun dengan menggunakan metode ini panitia mengalami masalah yaitu ketika ada peserta yang lompatannya melebihi 5 meter. Untuk menyelesaikan hal ini lakukanlah kegiatan di bawah ini sebagai simulasi.Sumber: http://www.sekolah123.comAyo Kita Mencoba1.Siapkan penggaris berukuran 100 cm atau 30 cm.2.Siapkan stop watch atau jam tangan atau jam dinding.3.Siapkan koin atau benda kecil yang bisa dilempar ke atas.4.Buatlah kelompok minimal terdiri atas tiga orang yang akan bertugas untuk melempar koin, mengamati uji coba, dan mencatat.5.Letakkan penggaris secara vertikal dan bilangan nol letakkan pada posisi di bawah.
Kelas IX SMP/MTs1186.Lemparlah koin atau benda kecil yang kamu siapkan dengan posisi lemparannya di titik nol pada penggaris.7.Amati waktu yang diperlukan koin untuk mencapai tinggi 100 cm atau 30 cm (sesuaikan dengan penggaris yang kamu bawa).8.Lakukan kegiatan ini sebanyak 10 kali dan isi tabel berikut ini.Percobaan ke-Waktu yang diperlukan untuk mencapai 100 cm atau 30 cm1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.Ayo Kita AmatiPada teori fisika terdapat persamaan yang berhubungan dengan kegiatan di atas, yaituh(t) = v0 t − 12gt2 dengan h menyatakan tinggi benda, v0 menyatakan kecepatan awalatau kecepatan disaat waktu sama dengan nol, t menyatakan waktu dan g menyatakan koefisien dalam gaya gravitasi yang bernilai 9,8. Dari kegiatan di atas informasi apa saja yang bisa kamu dapat tentukan dan beri penjelasannya?
MATEMATIKA119Ayo Kita SimpulkanTentukan hubungan antara Kegiatan 1 dengan permasalahan panitia lompat trampolin di atas. Dan bagaimana pemecahan masalahnya.Kegiatan 2Membuat BalokSeorang pengusaha es ingin membuat cetakan untuk es. Untuk itu dia menyediakan selembar kayu berukuran 2,5 meter × 1 meter. Dengan kayu ini dia ingin membentuk cetakan berbentuk balok dengan tinggi 1 meter tanpa alas dan tutup. Sebagai pengusaha dia ingin menghasilkan es semaksimal mungkin. Selesaikan permasalahan ini dengan melakukan kegiatan berikut.Ayo Kita Mencoba1.Siapkan kertas karton berukuran 25 cm × 10 cm.2.Buatlah balok atau kubus tanpa alas dan tutup dengan tinggi 10 cm dari kertas tersebut dengan cara melipat seperti pada contoh gambar berikut ini.Sumber: Dokumen Kemdikbud3.Hitunglah volume balok yang kamu buat.4.Lakukan kegiatan ini sebanyak sepuluh kali dengan menggunakan kertas yang sama, tetapi ukuran baloknya berbeda.
Kelas IX SMP/MTs1205.Isilah tabel berikut ini.Balok ke-Volume balok1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.Ayo Kita MenalarDari kesepuluh balok yang kamu buat, balok nomor berapakah yang mempunyai volume terbesar? Mungkinkah dibuat balok lain dengan volume lebih besar daripada volume balok tersebut? Ayo Kita SimpulkanTentukan hubungan hasil dari Kegiatan 2 di atas dengan kasus yang ada pada Kegiatan 2 ini. Bagaimana kamu menyelesaikan kasus yang dihadapi oleh pengusaha tersebut?
MATEMATIKA121Kegiatan 3Membuat Persegi PanjangSeorang pengusaha emas mendapatkan pesanan 10 lempeng emas berbentuk segitiga sama sisi dengan ukuran sisinya adalah 10 cm dengan harga Rp100.000 per cm2. Akibat dari produksi ini, bahan untuk pembuatan emas yang dia miliki telah habis. Selanjutnya ternyata ada kabar yang mengejutkan yaitu si pembeli tidak ingin membeli emas berbentuk segitiga namun dia ingin membeli emas berbentuk persegi panjang sebanyak 10 dengan ukuran yang sama dan dia akan membayarnya dengan harga dua kali lipat dari harga Rp200.000 per cm2. Karena bahannya sudah habis maka si pengusaha harus memotong emas berbentuk segitiga menjadi persegi panjang. Karena si pengusaha menginginkan hasil penjualan emas tersebut semaksimal mungkin, dia harus membuat emas berbentuk persegi panjang dengan luas maksimal. Selesaikan permasalahan ini dengan melakukan kegiatan berikut.10 cm10 cm10 cm6 cm6 cm3,5 cm3,5 cmAyo Kita Mencoba1.Siapkan kertas karton.2.Buatlah segitiga sama sisi dengan ukuran sisi 10 cm.3.Buatlah persegi panjang di dalam segitiga tersebut, seperti pada gambar di atas.4.Hitunglah luas dari persegi panjang tersebut.5.Lakukan kegiatan ini sebanyak sepuluh kali.
Kelas IX SMP/MTs1226.Isilah tabel berikut iniPersegi Panjang ke-Luas Persegi Panjang1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.Ayo Kita MenalarDari kesepuluh persegi panjang yang kamu buat, persegi panjang nomer berapakah yang mempunyai luas terbesar? Mungkinkah dibuat persegi panjang yang lain dengan luas lebih besar daripada luas persegi panjang tersebut? Hubungkan hasil dari Kegiatan 3 ini dengan kasus yang ada pada Kegiatan 3 ini! Bagaimana kamu menyelesaikan kasus yang dihadapi oleh pengusaha tersebut?Ayo Kita BerbagiCarilah aplikasi fungsi kuadrat yang ada pada kehidupanmu sehari-hari, lalu presentasikan di depan kelas.Ayo Kita MenanyaBuatlah pertanyaan dari hasil diskusi di atas.
MATEMATIKA123Aplikasi Fungsi KuadratMateri Esensi 2.5Berikut langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah optimalisasi fungsi kuadrat.Langkah 1.Tentukan variabel yang akan dioptimalisasi yaitu y dan variabel yang bebas yaitu x.Langkah 2.Jika model y = ax2 + bx + c tidak diketahui maka bentuklah model y = ax2 + bx + c dari permasalahan.Langkah 3.Tentukan nilai optimum dari model yang didapatkan pada Langkah 2.Contoh 1Tukang Talang AirPekerjaan Pak Suradi adalah pembuat Talang Air. Ia mendapat pesanan membuat sebuah Talang Air dari lembaran seng yang lebarnya 40 cm dengan cara melipat lebarnya atas tiga bagian seperti terlihat pada Gambar di bawah ini. Tentukan nilai x supaya volume dari talang maksimum.0,5 (40 − x)x0,5 (40 − x)Alternatif Penyelesaian:Diketahui:Lembaran seng yang lebarnya 40 cm akan dibuat talang seperti gambar di atas.Ditanya:Ukuran talang supaya volumenya maksimumPenyelesaian:Langkah 1.Menentukan variabel yang akan dioptimalisasi yaitu y dan variabel yang bebas yaitu xVariabel y dalam kasus ini adalah luas sisi talang dan variabel x seperti terlihat pada gambar
Kelas IX SMP/MTs124Langkah 2.Model permasalahan ini adalah y = x (0,5(40 − x)) = 20x − 12x2 yakni a = –12, b = 20 dan c = 0Langkah 3.Agar y optimum maka nilai x adalah 20–201222bcma=−=−−.Contoh 2Tinggi Balon UdaraTinggi dari balon udara dalam waktu x dapat dinyatakan dalam bentuk fungsif(x) = –16x2 + 112x − 91. Tentukan tinggi maksimum balon udara.Alternatif Penyelesaian:Diketahui :Fungsi f(x) = –16x2 + 112x – 91 merupakan tinggi balon udaraDitanya :Tinggi maksimum balon udaraPenyelesaian :Langkah 1.Tentukan variabel yang akan dioptimalisasi; yaitu, y dan variabel yang bebas; yaitu xVariabel y dalam kasus ini adalah f(x); yaitu fungsi tinggi balon Langkah 2. Model f(x) = –16x2 + 112x − 91Langkah 3.Tinggi maksimum ( ) ( )22112416 ( 91)46720105444(16)64oDbacymeteraa−− −−=−=−=−=− =−− 105 meterContoh 3Luas KebunSeorang tukang kebun ingin memagari kebun yang dia miliki. Dia hanya bisa memagari kebun dengan keliling 100 m. Jika pagar yang diinginkan berbentuk persegi panjang, Berapa luas maksimum kebun yang bisa dipagari?Alternatif Penyelesaian:Diketahui: Diketahui keliling kebun yang akan dipagari 100 meterDitanya: Luas maksimum kebun yang akan dipagariPenyelesaian:
MATEMATIKA125xx0,5(100 − 2x)0,5(100 − 2x)Berdasarkan yang diketahui yaitu keliling adalah 100 dan dimisalkan x panjang persegi panjang maka kebun tersebut dapat digambar seperti di atas.Langkah 1.Menentukan variabel yang akan dioptimalisasi yaitu y dan variabel yang bebas yaitu xVariabel y dalam kasus ini adalah luas persegipanjang pada gambar di atas.Langkah 2.Model dalm kasus ini adalah y = x(0,5(100 − 2x)) = 50x − x2Langkah 3.Luas maksimum ( ) ( )( )( )225041 04250062544414oDbacymeteraa−−−=−=−=−=− =−−Ayo Kita SimpulkanBerdasarkan contoh di atas, tuliskan langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah optimalisasi fungsi kuadrat.Ayo Kita Tinjau Ulang1.Pada Contoh 1, bagaimana ukuran talang jika bentuk gambarnya sebagai berikut? Apakah menghasilkan hal yang sama?40 − 2xxx2.Pada Contoh 2, bagaimana jika f(x) = –16x2 + 112x − 111? Apa yang terjadi? Bagaimana hal itu bisa terjadi? Jelaskan?
Kelas IX SMP/MTs126Aplikasi Fungsi KuadratLatihan 2.51.Suatu persegi panjang kelilingnya 60 cm. Tentukan ukuran persegi panjang agar mempunyai luas maksimum.2.Sebuah segitiga siku-siku jumlah kedua sisi siku-sikunya adalah 50 cm. Tentukan ukuran segitiga siku-siku agar mempunyai luas maksimum.3.Seorang siswa memotong selembar kain. Kain hasil potongannya berbentuk persegipanjang dengan keliling 80 cm. Apabila siswa tersebut berharap mendapatkan kain hasil potongan mempunyai luas maksimum, tentukan panjang dan lebar kain.4.Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h (dalam meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik) dirumuskan dengan h(t) = –4t2 + 40t. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan.5.Diketahui bahwa tinggi Jam Gadang yang ada di Sumatera adalah 26 meter. Tentukan pemecahan masalah berikut ini: (Petunjuk: Rumus fisika untuk benda yang dijatuhkan pada ketinggian tertentu adalah s = s0 − v0 t + 5 t2 dan untuk benda yang dilempar ke atas adalah h = h0 + v0t − 5 t2 dengan s adalah jarak benda yang dijatuhkan terhadap posisi awal benda (meter), h adalah jarak benda yang dilempar terhadap posisi awal benda (meter), t adalah waktu (detik), s0 dan h0 adalah ketinggian awal, dan v0 adalah kecepatan awal benda (m/s))a.Pada suatu hari ada seseorang yang menjatuhkan apel dari atas gedung Jam Gadang. Jika diharapkan apel tiba di tanah pada 0,7 detik setelah pelemparan apel, tentukan kecepatan awal apel.b.Pada suatu hari ada seseorang yang melempar apel ke atas. Jika orang tersebut menginginkan tinggi lemparannya tersebut tepat sama dengan tinggi gedung Jam Gadang. Tentukan kecepatan awal yang harus diberikan orang tersebut pada saat melempar apel.Sumber: www.indonesia.travel
MATEMATIKA1276.Seorang pemain bola basket mempunyai tinggi 170 cm. Sedangkan tinggi keranjang adalah 3 meter. Pemain basket tersebut melempar bola basket sejauh 4 meter dari posisi tiang keranjang dan posisi awal bola berada tepat di atas kepala pemain. Ternyata lemparannya mempunyai tinggi maksimum 4,5 meter dan secara horisontal berjarak 2,5 meter dari pemain. Jika lemparannya membentuk parabola tentukan apakah bola tersebut masuk kedalam keranjang?7.Seorang tukang bangunan mendapat pesanan membuat air mancur yang diletakkan di pusat kolam kecil yang berbentuk lingkaran. Pemesan menginginkan luas kolamnya adalah 10 m2. Jika tinggi maksimum dari air mancur adalah 2 meter dan air mancurnya harus jatuh tepat ditepian kolam maka tentukan persamaan kuadrat dari air mancur.8.Seorang atlet lompat jauh sedang mengadakan latihan. Pada saat latihan dia mengambil awalan lari dengan kecepatan tertentu dan pada saat di balok tumpuan kecepatannya kira-kira 2.5 m/s kemudian pada saat itu juga dia melompat dengan sudut 300. Tentukan jarak atlet tersebut dengan balok tumpuan ketika dia sampai ditanah? (Petunjuk: Rumus fisika untuk jarak vertikal (tinggi) yang bergantung terhadap waktudengan sudut awal 300 adalah h = 12v0t − 5t2dan jarak horisontal yang bergan- tung pada waktu adalah s = 132v0t dengan t adalah waktu (detik), h adalah tinggi lompatan pada saat t (m), s adalah jarak horisontal pada saat t (m) dan v0adalah kecepatan awal)1 mBak PasirLintasan lariBalok TumpuanSumber: http://www.wikihow.comSumber: Dokumen KemdikbudSumber: elgisha.wordpress.com
Kelas IX SMP/MTs128Ukurlah tinggi badanmu (h) dan panjang jangkauan kedua tanganmu (j). Nyatakan keduanya dalam satuan cm. Tugasmu adalah membuat fungsi kuadrat berdasarkan informasi tinggi dan jangkauan tangan tanganmu sebagai berikut.1.Grafik fungsi kuadrat tersebut memiliki titik puncak pada koordinat (0, h).2.Grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu-x pada koordinat( , 0)(, 0)22jjdan−Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar di bawah ini. Sumber: Dokumen KemdikbudProyek 29.Seorang atlet lompat tinggi sedang mengadakan latihan. Pada saat latihan dia mengambil awalan lari dengan kecepatan tertentu dan dia melompat dengan sudut mendekati 900 pada saat jaraknya sangat dekat sekali dengan tiang lompat. Satu detik setelah dia melompat, tubuhnya mencapai tanah. Tentukan kecepatan lari sesaat sebelum dia melompat supaya lompatannya bisa melewati tinggi mistar lompat yaitu 2 meter! (Petunjuk: Rumus fisika untuk tinggi yang bergantung terhadap waktu dengan sudut awal lompatan mendekati 900 adalah h = 12v0t − 5t2dengan t adalah waktu (detik), h adalah tinggi lompatan pada saat t (m) dan v0adalah kecepatan awal)Sumber: Dokumen Kemdikbud
MATEMATIKA129Fungsi KuadratUji Kompetensi 21.Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x2 − 5x − 1 = 0, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1.2.Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah m dan n. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya m + n dan m.n.3.Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2.Jika x12 + x22 = 4, tentukan nilai q!4.Persamaan(1 – m)x2 + (8 – 2m)x + 12 = 0 mempunyai akar kembar. Berapa m? 5.Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, tentukan nilai c.6.Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. Jika hasil kali dua bilangan itu 35, tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud.7.Persamaan kuadrat x2 −2x + 7 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 − 2 dan x2 – 2 adalah ....8.Akar-akar persamaan 2x2 − 6x + 2m − 1 = 0 adalah α dan β . Jika α = 2β, maka nilai m adalah .... 9.Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x2 − 5x − 1 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah ....10.Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (a − 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2βdan a > 0, tentukan nilai a.11.Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut.a.f(x) = x2 + x + 3b.f(x) = x2 – 6x + 8c.f(x) = 2x2 + 3x + 212.T entukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-x pada titik koordinat (–2, 0) dan (5, 0) serta memotong sumbu-y pada titik koordinat (0, –20).
Kelas IX SMP/MTs13013.T entukan fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak pada titik koordinat (1, 5) serta melalui titik koordinat (0, 7).14.T entukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (0, 5), (1, 6) dan (–1, 12).15.T entukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (0, –2) serta memiliki sumbu simetri x = –½. 16.Analisis kesalahan. Lily menentukan fungsi kuadrat yang memiliki akar x = 3 dan x = –2 serta grafiknya melalui titik koordinat (0, 12). Fungsi kuadrat yang diperoleh adalah y = –2x2 – 2x + 12. Tentukan kesalahan yang dilakukan oleh Lily.17.Tantangan. Tentukan banyaknya fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c yang memiliki dua akar berbeda dengan 1 ≤ a, b, c ≤ 6.18.T entukan titik potong grafik fungsi linear y = 2x + 5 dengan grafik fungsi kuadrat y = 2x2 – 4x + 9.19.T entukan titik potong grafik fungsi kuadrat y = 2x2 + 4x + 1 dengan grafik fungsi kuadrat y = x2+ 9x + 7.20.Tantangan.Apakah mungkin garis horisontal memotong grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c tepat pada satu titik koordinat?21.T entukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi di bawah ini.a.y = 3x2 – 7xb.y = 8x2 – 16x + 2c.y = 6x2 + 20x + 1822.Sketsalah grafik fungsi berikut ini.a.y = 6x2 + 5x + 7b.y = 7x2 – 3x + 223.Diketahui suatu barisan 3, 11, 26,.... Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un = an2 + bn + c. Tentukan barisan ke-100.
MATEMATIKA131Sumber: http://idkf.bogor.netSumber: Dokumen Kemdikbud24.Diketahui suatu barisan barisan 5, 19, 29,.... Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un = an2 + bn + c. Tentukan nilai maksimum dari barisan tersebut.25.Jika fungsi y = ax2 + 3x + 5a mempunyai nilai maksimum 0, maka tentukan a.26.Seorang sopir mengemudikan mobilnya dengan kecepatan konstan 20 m/s. Tiba-tiba dia melihat orang yang sedang berdiri di tengah jalan yang berjarak 15 m di depan mobilnya. Sopir tersebut mengerem mobilnya dengan perlambatan 5 m/s2. Apakah mobil tersebut menabrak orang didepannya itu? (Petunjuk: rumusfisika untuk kasus ini adalah s = v0t –12at2 dengan t menyatakan waktu (detik) mulai dari pengereman, s jarak tempuh pada saat t, v0menyatakan kecepatan mobil dan a menyatakan perlambata mobil)27.Air Terjun Madakaripura terletak di Kecamatan Lumbang, Probolinggo merupakan salah satu air terjun di kawasan Taman Nasional Bromo Tengger Semeru. Tinggi dari air terjun ini adalah 200 m. Pada suatu hari ada seseorang yang melepas ikan tepat dari atas air terjun. Tentukan berapa waktu yang diperlukan ikan tersebut untuk mencapai dasar air terjun? Jika persamaan jarak tempuh dari ikan tersebut adalah y = y0 − 24t2 dengan y jarak tempuh, y0 adalah tinggi air terjun dan t waktu tempuh.28.Sebuah roket mempunyai dua bahan bakar yaitu salah satunya berada pada pada bagian ekor. Pada ketinggian tertentu bahan bakar ini akan dibuang untuk mengurangi bobot. Roket mempunyai rumusan suatu persamaan y = 300t – 5t2 dengan t adalah waktu (detik) dan y menyatakan tinggi roket. Jika ekor roket dibuang pada saat mencapai tinggi maksimum, berapa tinggi roket pada saat membuang bahan bakarnya?Sumber: Dokumen Kemdikbud
Kelas IX SMP/MTs13229.Sumber: Dokumen KemdikbudSeorang atlet tolak peluru mempunyai tinggi 160 cm. Atlet ini melempar peluru tepat di atas kepalanya. Ternyata lemparannya mempunyai tinggi maksimum 4,5 meter dan secara horisontal berjarak 2,5 meter dari pemain. Jika lemparannya membentuk parabola tentukan jarak yang dicapai peluru tersebut!30.Sumber: http://cdn.ad4msan.comBalon udara jatuh dari ketinggian 32 kaki. Diberikan fungsi h = –32 t2 + 32 dengan h adalah tinggi balon setelah t detik. Kapan balon ini mencapai tanah?